[4일차 과제]

1. 컴퓨터에서 음수를 표현하는 방법

• 부호 비트(Sign Bit)란 무엇인가?
  • 컴퓨터가 이진수로 숫자의 양수와 음수를 구분하기 위해 사용하는 가장 왼쪽 (최상위) 비트
    • MSB : Most Significant Bit로 최상위 비트값을 의미하고 2의 보수에서는 부호 비트를 의미
    • LSB : Least Significant Bit로 최하위 비트값을 의미
  • 0은 양수(+)     /     1은 음수(-)
  • signed : 부호비트를 포함한 데이터 형태. 양수와 음수 모두 표현
  • unsigned : 부호비트를 포함하지 않음. 부호가 없는 만큼 양수 표현 범위가 2배 (0포함)
• 보수란?
  • 두 수의 합이 진법의 밑수(N)이 되게 하는 수
    ex. 10진수 4의 보수는 6이고, 10진수 2의 보수는 8
  • 보수는 컴퓨터에서 음의 정수를 표현하기 위해 고안됨
  • 컴퓨터 내부에서 사칙연산을 할 때, 덧셈을 담당하는 가산기(Adder)만 이용하기 때문에 뺄셈을 덧셈 형식으로 변환하여 계산해야함
    즉, A - B는 A + (-B)로 계산
• 1의 보수(One's Complement)란 무엇인가?
  • 각 자리 수의 합이 모두 1인 수에서 주어진 2진수를 빼면 1의 보수를 얻을 수 있음
  • 컴퓨터 연산으로는 NOT연산
    ex. 2진수 1010의 1의 보수는 0101
  • 양수와 음수를 대칭적으로 만들고 싶었음
  • 1의 보수의 문제점 :
    1. 0이 두 개 존재 : +0 (00000000), -0 (11111111)
    2. 덧셈이 이상 : 5+ (-5) = 00000101 + 11111010 = 11111111(=-0)
       (end-around carry 같은 추가 작업 필요)
    3. 사칙연산 과정에서 오버플로우가 발생할 수 있음
       ex. 양수 7과 6의 1의 보수로 음수를 구한 후 각각 구해서 더하여라 (단, 7과 6을 4bit로 표현해서 진행)
       7 = 0111 (2) -> 1의 보수 : 1000 (2) = -7
       6 = 0110 (2) -> 1의 보수 : 1001 (2) = -6
       두 수의 합은 -13이 나와야하지만 2진수 합은 10001로 4bit 범위를 초과하여 오버플로우
       
       
• 2의 보수(Two's Complement)란 무엇인가?
  • 1의 보수의 한계를 극복한 계산 방법 (0이 하나만 존재)
  • 1의 보수에 1을 더한 값과 같음
    ex. 2진수 1010에 대한 1의 보수 0101을 구한 후, 1을 더해 0110
  • 물론 2의 보수도 오버플로우가 발생할 수 있지만 1의 보수보다는 경우의 수를 훨씬 더 줄여줌
    ex. 양수 7과 음수 6의 2의 보수로 음수를 바꾼 후 각각 구해서 더하여라 (단, 7과 6을 4bit로 표현해서 진행)
    7 = 0111 (2) 
    6 = 0110 (2) -> 2의 보수 : 1010 (2) = -6 (1이 왼쪽으로 넘어간다. 캐리라고 함)
    0111 (2) + 1010 (2) = 0001 (2) = 1 (캐리된 것은 버림)
    
• 1의 보수와 2의 보수의 차이점

구분	1의 보수	2의 보수
변환 방법	각 자리의 비트 반전 (NOT)	1의 보수에 1을 더함
0의 표현	+0 (0000)와 -0 (11111)로 0이 두 개	0000으로 0이 하나만 존재
연산 효율성	0이 두 개이기 때문에 연산 회로 복잡	0이 하나이므로 회로 단순, 연산속도 빠름

• 왜 현대 컴퓨터는 대부분 2의 보수를 사용하는가?
  • 우선 보수를 사용하는 이유 :
    1. 가산기 레지스터 때문
       (보수 설명 시 언급했듯이 컴퓨터 내부에서 사칙연산을 할 때, 가산기만 이용하기 때문)
    2. 양수, 음수의 표현 때문
  • 1의 보수를 사용하면 비트 전환만 수행하면 되기 때문에 더 빠르고 효율적이라고 생각할 수 있지만
    0을 표현하는 과정에서 문제가 발생함
    • 0101 - 0101 -> 0101 + 1010 = 1111
    • 0000, 1111 두 가지 모두 0을 표시하는 방법이 됨
  • 프로그램 코드 중 두 값을 비교하는 과정에서 비트를 비교하는 방식이라면
    • 0000 == 1111
    • 결과값이 False로 나올 수도 있고, 한 쪽의 값을 보수 취해서 같다는 것을 판별해야하는 번거로운 상황이 발생할 수 잇음
  • 2의 보수를 사용한다면?
    • 0101 - 0101 -> 0101 + 1011 = 10000
    • 최상위 캐리비트 1을 저장하지 않고 버리면 결과가 0000

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2. 1.1 + 0.1 == 1.2 가 False가 나오는 이유

• 부동소수점(Floating Point)이란 무엇인가?
  • 컴퓨터에서 실수를 근사하여 표현하는 방식
  • 부동은 한자로 떠다닌다( 浮 )는 뜻. 영어로는 Float
  • 즉, 소수점이 고정되지 않고 데이터의 크기에 따라 좌우로 유동적으로 움직일 수 있다는 의미

• IEEE 754 표준이란 무엇인가? 
  • 컴퓨터 프로세서와 하드웨어에서 소수(실수)를 표현하고 연산하기 위해 제정된 가장 널리 쓰이는 국제 표준
  • 현대 컴퓨터는 부동 소수점을 표현할 때 국제 표준인 IEEE 754를 주로 사용
  • 하나의 데이터를 세 부분으로 나누어 저장
    1. 부호부(Sign) : 양수(0)와 음수(1)을 결정하는 1bit
    2. 가수부(Mantissa) : 실질적인 유효숫자를 기록하는 23bit (float 기준)
    3. 지수부(Exponent) : 소수점의 위치를 결정하는 8bit (float 기준)

IEEE 754

• 컴퓨터는 왜 10진수를 2진수로 변환해서 저장하는가?
  • 컴퓨터가 전기적 신호의 ON, OFF만 구별할 수 있는 하드웨어(트랜지스터)로 구성되어 있기 때문
  • 인간은 10진수를 사용하기 때문에 처음 컴퓨터를 만들었을 때 전기 신호로 10진수를 나타내기 위한 시도가 있었다. 그러나 진공관에서의 10진수 표기는 굉장히 까다로웠다. 최초의 컴퓨터인 ENIAC(에니악)이다. 어느 위치에 있어야 0, 1, 2 등을 나타낼 수 있는데 (전압의 높고 낮음을 구별해야) 이를 안정적으로 유지하기에는 어려움이 있었다. 이를 개선하여 만든 것이 폰노이만의 컴퓨터이다. 진공관에서 흐른다, 흐르지 않는다라는 개념에서 시작한 2진법은 굉장히 오류를 최소화 할 수 있었다. 그렇기 때문에 지금의 2진법으로 이루어진 컴퓨터가 만들어 진 것이다.
• 왜 일부 10진수는 2진수로 정확하게 표현되지 않는가?
  
  • 10진수 소수는 유한한 자리 수로 떨어지더라도, 2진수로는 무한 소수가 되어 컴퓨터에서 정확하게 표현할 수 없는 경우가 있음. 그 이유는 각 진법에서 값을 나타내는 '소수(Fraction)'의 원리 때문.
    • 10진수 소수 : 10^(-1), 10^(-2) 등 10의 거듭 제곱으로 표현
    • 2진수 소수 : 2^(-1), 2^(-2) 즉 0.5. 0.25 등 2의 거듭 제곱으로 표현
  • 정확히 표현할 수 없는 이유
    • 10진수에서 간단한 분수인 0.1을 2진수로 변환하려고 하면
      0.1 x 2 = 0.2 -> 0
      0.2 x 2 = 0.4 -> 0
      0.4 x 2 = 0.8 -> 0
      0.8 x 2 = 1.6 -> 1 (정수부 추출)
      0.6 x 2 = 1.2 -> 1
      0.2 x 2 = 0.4 -> 0 (다시 0.4로 돌아감)
      => 이 과정이 끊임없이 반복되기 때문에 2진수 0.1은 0.0001100110011... 과 같이 무한 소수가 됨
      (유한한 공간에 값을 욱여넣다보니 미세한 오차 발생)
  • 해결 방식 (부동소수점 오차)
    • 컴퓨터(CPU)는 메모리 한계 때문에 무한 소수를 끝까지 저장하지 못하고, 정해진 자리수 (보통 32, 64bit)에서 반올림하여 값을 잘라낸 후 저장
    • 이로 인해 미세한 오차가 발생하는데 이를 부동소수점 오류(Floating-point error)라고 함
• 부동소수점 오차는 실제 개발에서 어떤 문제를 발생시키는가?
  • 무한 루프 및 조건문 버그 : A == B 형태의 단순 비교가 예상대로 작동하지 않음. 겉으로 같아보여도 두 값의 부동 소수점 비트가 미세히 달라 무한 루프에 빠지거나 잘못된 분기문 실행 
  • 소액 결제나 세금 계산 시 이러한 오차가 누적되면 기업과 고객 간의 금전적 손실이나 신뢰도 하락을 초래
  • 게임 3D 그래픽 및 물리 연산 오류 : 캐릭터가 공중에 뜨거나 맵을 뚫고 떨어지거나 벽에 부딪혔을 때 부자연스럽게 떨리는 현상 발생. 좌표와 충돌 판정(히트박스)에 소수점 연산이 개입하기 때문
• 금융/게임/AI 분야에서 소수 오차를 어떻게 처리하는가?
  • 정수(Integer) 단위로 변환하여 연산
  • 고정밀 라이브러리 사용 : 자바의 BigDecimal, 파이썬의 decimal, 자바스크립트의 BigNumber.js등 십진법 연산을 정확히 지원하는 전용 객체/라이브러리 활용
  • 허용 오차 (Epsilon) : ' 두 값이 완전 같은가' 대신에 '두 값이 차이가 허용할 만큼 아주 작은가'를 비교하여 오차를 제어
• 결국 1.1 + 0.1 == 1.2가 False가 나오는 이유는 
  1. 컴퓨터는 10진수가 아닌 2진수를 사용함
  2. 2진수 소수는 무한 소수 발생
  3. 컴퓨터의 메모리는 한정되어 있기 때문에 무한 소수를 저장하지 못하고 정해진 자리수에서 반올림하여 저장
  4. 위 과정에서 미세한 오차 발생

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[4일차 과제 후기]

부호비트, 1의 보수, 2의보수에 대한 내용을 대학 수업에서 들었었다. 오랜만에 보는 내용이라 반갑기도 하면서 듣기만 했던 내용을 직접 찾아보니 더 기억에 남을 것 같다. 대학 수업에서는 직접 찾기보다는 교수님의 말을 듣기만해서 + 처음 듣는 내용이라 어렵다고만 생각했었다. 지금 과제로 몰랐던 내용들을 찾아보며 (단순히 GPT를 돌리기보다는 구글링) 모르는 것을 잘 찾는 것도 스킬이라고 생각하며 과제를 수행했다.

특히나 컴퓨터는 2진수로 저장하는 이유는 대학에서 흥미롭게 들었던 내용이라 찾아보기 전에 적어본 후, 서치해보니 이 내용이야말로 정말 반가웠다. 부동소수점의 오차가 개발에 어떤 문제를 발생시키는지는 생각해본적이 없었는데 이 미세한 오차들이 모이면 정말 커다란 문제를 발생시킬 수 있다고 생각하니 앞으로의 개발에서는 조심해야겠다는 생각이 들었다.

아무리 메모리가 커졌다고 해도 정확한 계산을 해내지 못하는 바보 컴퓨터. 나중에는 부동 소수점의 오차도 없앨 수 있는 방법 또는 메모리가 만들어지려나